Техническое приложение А
Вычисление числа участников измерений - подгруппы максимального риска - из однородной группы с высоким уровнем риска
Приведённая в этом приложении информация была разработана Systems Control Inc, и она первоначально была опубликована в SCI Report #5119-1, pp. 7-12 (May 1975). Работа проводилась по договору с NIOSH: NIOSH Contract # CDC-99-74-75.
В некоторых случаях невозможно выявить рабочих, у которых риск (чрезмерного воздействия) максимален. То есть, рекомендации (Глава 2) не позволяют определить, у каких рабочих ожидается максимальное воздействие. Это может случиться, когда много рабочих выполняет схожую работу, и у них схожий риск большого воздействия, или когда воздух в помещении хорошо перемешан. В этом приложении приводятся указания для отбора адекватной подгруппы из однородной группы с (однородным) большим риском.
В приложении описаны процедуры отбора подгруппы, которые может использовать работодатель для уменьшения числа замеров, но с сохранением большой вероятности обнаружения чрезмерного воздействия, рабочих с большим риском. Число рабочих в такой большой однородной группе обозначено N, а для проведения измерения воздействия случайным образом отбирается (подгруппа) n рабочих, n < N.
Если предположить, что из основной подгруппы (N) 10% рабочих подвергаются наибольшему риску, то (мы) попытаемся отобрать такую подгруппу (n), чтобы с большой вероятностью [1-α] один из входящих в неё рабочих подвергался большому воздействию. Вероятность того, что хотя бы один из (выбранной) попадёт в подгруппу No = τN (τ - доля от основной группы, которая подвергается сильному воздействию, 0<τ<1) (должна быть достаточно большой). Если подгруппа с большим воздействием включает 10% от основной группы, то τ = 0.1. Вероятность того, что в выбранной подгруппе не окажется ни одного рабочего из числа τN подвергающихся наибольшему воздействию - α.
Для вычисления вероятности того, что в выбранную подгруппу (n) не попадёт ни один из рабочих с большим риском воздействия (No) из основной группы (N) используется формула:
Po = [ (N-No)! * (N-n)! ] / [ (N-No-n)! * (N)! ] (A-1)
Это выражение получено на основе теории (комбинаторики) для выборки без замены. Заметим, что:
Po = Po(N,τ,n) (A-2)
и для получения числа рабочих, отбираемых в подгруппу для проведения замеров нужно решить следующее уравнение:
Po(N,τ,n) = α (A-3)
для числа рабочих в подгруппе n, известного числа рабочих в основной группе N, известной доли рабочих с наибольшим риском τ и заданной вероятности того, что среди выбранных рабочих не окажется тех, у кого риск максимален α.
В таблицах А1-А4 приводятся результаты решения этого уравнения, округлённые до ближайшего целого значения. Результаты получены для размера основной группы N ≤ 50, для доли рабочих с наибольшим риском 10 и 20% (τ = 0.1 и 0.2), и уровне доверия 90 и 95% (α = 0.1 и 0.05).
Если n << N, то точное решение получается при отборе подгруппы с заменой. В этом случае отбор подгруппы обеспечивает вероятность (1 - α) того, что в n ''попытках'' не произойдёт случай, вероятность которого для одной ''попытки'' равна τ. Формула:
(1-τ)n = α (A-4)
и n = Log(α) / Log(1-τ) (A-5)
Например, n(τ=0.1, α=0.1 = [Log(0.1)/Log(0.9) = -1.0/-0.0458] = 21.9, или 22. Это предел, к которому стремится n в таблице А-1 при N → ∞.
Заметим, что даже при N = 50, значение n из таблицы А-1 заметно отличается от предела (например - 22), и это показывает преимущества использования формулы (А-3) для определения числа рабочих.
Таблица А-1. Отбор подгруппы рабочих для доли рабочих с наибольшим воздействием 10% (τ = 0.1) и уровнем доверия 0.9 (α=0.1). При N ≤ 7 n=N.
N
8
9
10
11-12
13-14
15-17
18-20
21-24
25-29
30-37
38-49
50
∞
n
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
22
Таблица А-2. Отбор подгруппы рабочих для доли рабочих с наибольшим воздействием 10% (τ = 0.1) и уровнем доверия 0.95 (α=0.05). При N ≤ 11 n=N.
N
12
13-14
15-16
17-18
19-21
22-24
25-27
28-31
32-35
36-41
42-50
∞
n
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
29
Таблица А-3. Отбор подгруппы рабочих для доли рабочих с наибольшим воздействием 20% (τ = 0.2) и уровнем доверия 0.9 (α=0.1). При N ≤ 5 n=N.
N
6
7-9
10-14
15-26
27-50
∞
n
5
6
7
8
9
11
Таблица А-4. Отбор подгруппы рабочих для доли рабочих с наибольшим воздействием 20% (τ = 0.2) и уровнем доверия 0.95 (α=0.05). При N ≤ 6 n=N.
N
7-8
9-11
12-14
15-18
19-26
27-43
44-50
∞
n
6
7
8
9
10
11
12
14
Ссылки
A-1 Parzen E.: Modern Probability Theory and Its Application. John Wiley and Sons, Inc., New York, N.Y. 1960.
Полезная информация:
Вычисление числа участников измерений - подгруппы максимального риска - из однородной группы с высоким уровнем риска
Приведённая в этом приложении информация была разработана Systems Control Inc, и она первоначально была опубликована в SCI Report #5119-1, pp. 7-12 (May 1975). Работа проводилась по договору с NIOSH: NIOSH Contract # CDC-99-74-75.
В некоторых случаях невозможно выявить рабочих, у которых риск (чрезмерного воздействия) максимален. То есть, рекомендации (Глава 2) не позволяют определить, у каких рабочих ожидается максимальное воздействие. Это может случиться, когда много рабочих выполняет схожую работу, и у них схожий риск большого воздействия, или когда воздух в помещении хорошо перемешан. В этом приложении приводятся указания для отбора адекватной подгруппы из однородной группы с (однородным) большим риском.
В приложении описаны процедуры отбора подгруппы, которые может использовать работодатель для уменьшения числа замеров, но с сохранением большой вероятности обнаружения чрезмерного воздействия, рабочих с большим риском. Число рабочих в такой большой однородной группе обозначено N, а для проведения измерения воздействия случайным образом отбирается (подгруппа) n рабочих, n < N.
Если предположить, что из основной подгруппы (N) 10% рабочих подвергаются наибольшему риску, то (мы) попытаемся отобрать такую подгруппу (n), чтобы с большой вероятностью [1-α] один из входящих в неё рабочих подвергался большому воздействию. Вероятность того, что хотя бы один из (выбранной) попадёт в подгруппу No = τN (τ - доля от основной группы, которая подвергается сильному воздействию, 0<τ<1) (должна быть достаточно большой). Если подгруппа с большим воздействием включает 10% от основной группы, то τ = 0.1. Вероятность того, что в выбранной подгруппе не окажется ни одного рабочего из числа τN подвергающихся наибольшему воздействию - α.
Для вычисления вероятности того, что в выбранную подгруппу (n) не попадёт ни один из рабочих с большим риском воздействия (No) из основной группы (N) используется формула:
Po = [ (N-No)! * (N-n)! ] / [ (N-No-n)! * (N)! ] (A-1)
Это выражение получено на основе теории (комбинаторики) для выборки без замены. Заметим, что:
Po = Po(N,τ,n) (A-2)
и для получения числа рабочих, отбираемых в подгруппу для проведения замеров нужно решить следующее уравнение:
Po(N,τ,n) = α (A-3)
для числа рабочих в подгруппе n, известного числа рабочих в основной группе N, известной доли рабочих с наибольшим риском τ и заданной вероятности того, что среди выбранных рабочих не окажется тех, у кого риск максимален α.
В таблицах А1-А4 приводятся результаты решения этого уравнения, округлённые до ближайшего целого значения. Результаты получены для размера основной группы N ≤ 50, для доли рабочих с наибольшим риском 10 и 20% (τ = 0.1 и 0.2), и уровне доверия 90 и 95% (α = 0.1 и 0.05).
Если n << N, то точное решение получается при отборе подгруппы с заменой. В этом случае отбор подгруппы обеспечивает вероятность (1 - α) того, что в n ''попытках'' не произойдёт случай, вероятность которого для одной ''попытки'' равна τ. Формула:
(1-τ)n = α (A-4)
и n = Log(α) / Log(1-τ) (A-5)
Например, n(τ=0.1, α=0.1 = [Log(0.1)/Log(0.9) = -1.0/-0.0458] = 21.9, или 22. Это предел, к которому стремится n в таблице А-1 при N → ∞.
Заметим, что даже при N = 50, значение n из таблицы А-1 заметно отличается от предела (например - 22), и это показывает преимущества использования формулы (А-3) для определения числа рабочих.
Таблица А-1. Отбор подгруппы рабочих для доли рабочих с наибольшим воздействием 10% (τ = 0.1) и уровнем доверия 0.9 (α=0.1). При N ≤ 7 n=N.
|
N |
8 |
9 |
10 |
11-12 |
13-14 |
15-17 |
18-20 |
21-24 |
25-29 |
30-37 |
38-49 |
50 |
∞ |
|
n |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
22 |
Таблица А-2. Отбор подгруппы рабочих для доли рабочих с наибольшим воздействием 10% (τ = 0.1) и уровнем доверия 0.95 (α=0.05). При N ≤ 11 n=N.
|
N |
12 |
13-14 |
15-16 |
17-18 |
19-21 |
22-24 |
25-27 |
28-31 |
32-35 |
36-41 |
42-50 |
∞ |
|
n |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
29 |
Таблица А-3. Отбор подгруппы рабочих для доли рабочих с наибольшим воздействием 20% (τ = 0.2) и уровнем доверия 0.9 (α=0.1). При N ≤ 5 n=N.
|
N |
6 |
7-9 |
10-14 |
15-26 |
27-50 |
∞ |
|
n |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
11 |
Таблица А-4. Отбор подгруппы рабочих для доли рабочих с наибольшим воздействием 20% (τ = 0.2) и уровнем доверия 0.95 (α=0.05). При N ≤ 6 n=N.
|
N |
7-8 |
9-11 |
12-14 |
15-18 |
19-26 |
27-43 |
44-50 |
∞ |
|
n |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
14 |
Ссылки
A-1 Parzen E.: Modern Probability Theory and Its Application. John Wiley and Sons, Inc., New York, N.Y. 1960.
Полезная информация: