Чрезвычайные ситуации → Эколого-экономическая деятельность предприятий → Оптимальное управление природными ресурсами при чрезвычайных ситуацияхТакое распределение ресурсов будем называть оптимальным управлением. Поставленная задача может быть решена методом динамического программирования (планирования), который представляет собой математический аппарат оптимизации решений, специально приспособленный к многоэтапным (многошаговым) операциям. В случае данной задачи ресурсы распределяются поэтапно по каждой сфере, а не сразу вкладываются во всю техносферу. Планируя многоэтапное управление, т.е. оптимальное распределение ресурсов, необходимо выбирать оптимальное управление на каждом этапе с учетом будущих последствий на следующих шагах. Среди всех этапов есть один, который можно планировать, не думая о будущих последствиях. Это - последний шаг. Его нужно планировать так, чтобы он принес наибольшую выгоду.
Спланировав этот последний этап, можно к нему пристроить предпоследний, к предпоследнему - предшествующий и т.д. до первого. Такое управление, обеспечивающее оптимальное продолжение процесса относительно заданного состояния называется условным оптимальным управлением па данном этапе. Эти условные оптимальные управления можно использовать во второй раз, т.е. провести вторую стадию оптимизации, проходя процесс от первого шага к последнему (от первого элемента к последнему), получив на базе условных оптимальных управлений и условных оптимальных вероятностей безопасности конкретные значения ресурсов, распределенных между элементами (сферами деятельности) таким образом, чтобы вероятность безопасности всей техносферы была максимальной.
Условное оптимальное управление i-го элемента системы может быть найдено из основного функционального уравнения динамического программирования, которое имеет вид
при условии: 0 < Ui < S. Здесь Ui - количество ресурсов, вкладываемых в i-й элемент техносферы для повышения вероятности его безопасности; максимум берется по всем ресурсам Ui не превосходящим оставшихся ресурсов S после вложения в (i -1)-й элемент; Рi(S) -максимальная вероятность безопасности техносферы. Вероятность Рi(S) в этом случае называется условной оптимальной вероятностью безопасности, при котором выражение в квадратных скобках формулы (8.6) достигает максимума, - условным оптимальным уравнением.
При распределении ресурсов, когда они расходуются до конца, а максимальные вероятности безопасности - неубывающие функции, условное оптимальное управление на последнем этапе состоит в том, чтобы все оставшиеся ресурсы выделить на последний этап (последнему элементу техносферы). Это условное оптимальное управление Uп (S) = S, а условная оптимальная вероятность - максимальная вероятность безопасности техносферы - Рп (S) = fn (S) что представляет собой максимальное значение функции, выражающей зависимость между вероятностью безопасности n-го элемента техносферы и вкладываемых в его безопасность ресурсов, что является заданным условием.
Применяя функциональное уравнение динамического программирования (8.6) от конца к началу, т.е. от га-го элемента к 1-му, можно найти условные оптимальные вероятности. Т.к. значение вкладываемых ресурсов во все элементы техносферы известно и равно S0, оптимальная вероятность безопасности 1-го элемента техносферы
при 0 < U1 < S0 является функцией одного аргумента и оптимизируется безусловно, т.е. без условий, предъявляемых к оставшимся ресурсам S.
Определив значение U1 из выражения (8.7) и подставляя его в основное функциональное уравнение динамического программирования (8.6) для второго шага, получаем U2(S) которое подставляется в (8.6) для 3-го шага и т.д. до га-го шага, т.е. находим условные оптимальные управления: Un-1(S), Un-2(S)...U2(S), U1(S = S0).
Таким образом, по последней условной оптимальной вероятности определяются все остальные вплоть до первой, по которой определяется первое оптимальное управление - обеспечение ресурсами первого элемента для повышения его безопасности, на основании чего определяются все остальные оптимально распределяемые ресурсы. Максимальная вероятность безопасности техносферы находится из выражения (8.5). Определив оптимальную вероятность безопасности техносферы при заданных ресурсах, можно просто найти и минимальный риск опасности техносферы.
Приведем примеры применения рассмотренного метода для наиболее простых случаев. Предположим, что техносфера имеет три элемента, представляющие собой наиболее уязвимые места, где могут происходить независимо друг от друга аварии, в результате чего останавливается функционирование всей системы. Для безаварийной работы данной техносферы в течение, например, одного года требуется вложение некого количества ресурсов, которое может быть представлено в виде сырья, затрат рабочей силы, денежных средств и др.
Обозначим объем требуемых средств безразмерной величиной S0. Вероятность безотказной работы каждого элемента техносферы в течение года определяется, предположим, неубывающей функцией и линейно зависит от вложенных в него средств.
В этом случае средства, вложенные в каждый элемент техносферы, будем называть оптимальным управлением, а значения рi(xi) - оптимальной вероятностью безопасности каждого элемента.
Воспользуемся основным функциональным уравнением динамического программирования применительно к последнему 3-му элементу, особенность которого, как указывалось выше, состоит в том, что к последнему шагу остаются средства, которые можно вложить все, без оглядки на последующие элементы. Предположим, что таких средств осталось S. Этот параметр - переменная величина, которая остается после вложения средств в предыдущие элементы (шаги). Мы задали, что для 3-го элемента зависимость вероятности безотказной работы определяется возрастающей функцией f3 (х3). Т.к. к этому шагу осталось S средств, то - Р3 (S) = max a2x3 = a3S3. Для 3-го шага S в нашем случае будет условным оптимальным управлением, а
— условной оптимальной вероятностью безопасности 3-го элемента.
Далее переходим к предпоследнему шагу. Из основного функционального уравнения динамического программирования следует, что условная оптимальная вероятность системы на этом шаге, состоящей из 2-го и 3-го элементов равна:
где 0 < х2 < S. Выражение в квадратных скобках имеет вид: а2 x2a3 (S - х2). Из условия оптимизации этого выражения (приравниваем нулю первую производную) находим условное оптимальное управление и условную оптимальную вероятность: a2(l / 2)S на 2-м шаге. При этом оптимизированное значение Р2 будет равно:
Первый шаг оптимизируется уже не условно, а безусловно, т.к. мы знаем, что на первом шаге значение неистраченных ресурсов S = S0. Основное функциональное уравнение для первого шага имеет вид: Зная оптимальные управления на каждом шаге и используя выражения (8.8) и (8.9), находим значения оптимальных вероятностей для 2-го и 3-го шагов соответственно: р2 = (а2S0) / 3, р3 = (a3S0) / 3.
В случае идентичных элементов оптимальные управления на каждом шаге оказываются одинаковыми и равными 1/3 вложенных в техносферу ресурсов, что и следовало ожидать. В реальной ситуации техносфера представляет собой сложную функциональную систему, состоящую из множества узлов, имеющих различные наборы факторов опасности.
Для решения поставленной задачи необходимо проведение специального анализа работы каждого элемента для идентификации функции вероятности безопасности, учитывая при этом, что состояние элементов определяется предысторией их эксплуатации. В такой ситуации вероятность безопасности системы зависит не только от объема средств, вложенного в каждый элемент системы на данном шаге, но и от того, какие эксплуатационные расходы вкладывались в них ранее, и зависят они от ряда факторов: времени эксплуатации, числа профилактических ремонтов, даты проведения последнего ремонта и др.
Теоретически всегда можно ввести в число параметров, характеризующих состояние системы в настоящий момент, сколько угодно данных из прошлого. Однако такое расширение спектра параметров приводит к значительному усложнению схемы динамического программирования, и использование этого метода становится непригодным.
Более целесообразным представляется описание вероятности безопасности техносферы Р, состоящей из n элементов, как произведение 1-ого элемента системы перед тем, как в нее будет вложено средств для повышения ее безопасности, а - нормирующий коэффициент.
Применяя изложенную выше методику расчета с помощью динамического программирования для 3-х элементов техносферы, получим условные значения оптимальных вероятностей безопасности и оптимальных управлений (величин вложенных средств) для каждого шага операции:
Так как первый шаг оптимизируется не условные, а безусловно, реальные оптимальные значения вероятностей безопасности и вложенных ресурсов для первого элемента системы р1 и х1 находятся из решения квадратного уравнения
Численное решение этого уравнения возможно только при заданных значениях, которые могут быть определены па основании экспертных оценок для данной системы элементов техносферы. Так как реальные техносферы могут содержать сколь угодно большое количество разнородных узлов, решение подобных задач является чрезвычайно сложным и требует либо предварительной обработки с целью упрощения задачи, либо использование численных методов современных компьютерных технологий.